décembre 2019 – 360 Aéroclub

Le but de cet article est d’établir quelques notions et relations de base, et notamment la loi de Laplace, avant d’aborder dans de futurs articles des notions approfondies d’anémométrie.
Je n’expose que les calculs qui me semblent intéressants, et je ne décris pas toujours dans le détail les hypothèses faites. Dans le but de simplifier l’exposé je fais parfois des hypothèses plus en amont qu’il n’est nécessaire, ce qui fait perdre de la généralité aux relations établies. Un exposé plus abouti devrait utiliser l’entropie, mais cette notion me semble trop abstraite pour le but poursuivi. Je pense cependant ne pas avoir manqué de rigueur, n’hésitez à commenter surtout si vous notez des erreurs.

Commençons par un rappel de thermodynamique.

Si on défini l’énergie interne U d’un gaz monoatomique composé de N atomes de masse m, soit une masse totale de gaz M = m N, par la somme des énergies cinétiques des atomes qui le composent, au prix de certaines hypothèses assez intuitives, on peut établir, u² étant la vitesse quadratique moyenne des atomes,
(1) ${\text{U}=\frac{1}{2} M u^2}$
On établit en admettant d’autres hypothèses également assez intuitives, P étant la pression et V étant le volume du gaz de masse M,
(2) ${\text{P V}=\frac{1}{3} M u^2}$
On en déduit
(3) ${\text{U}= \frac{3}{2} \text{P V}}$
Une hypothèse plus subtile, dite d’équirépartition de l’énergie, selon laquelle l’énergie cinétique, de rotation ou de translation, est équirépartie sur chaque degré de liberté, permet d’établir l’énergie d’un gaz diatomique comme étant
(4) ${\text{U}= \frac{5}{2} \text{P V}}$
Toutes les hypothèses évoquées sont celles de la théorie connue sous le nom de théorie cinétique des gaz.
On connaît depuis longtemps la formule empirique, qui est validée par l’expérience avec un niveau de précision suffisant pour les applications aéronautiques courantes,
(5) ${\text{P V}= \text{n R T}}$ , où T est la température, et ${\text{n} = \frac {N}{\mathcal{N_A}} }$ le nombre de moles du gaz, quotient du nombre de molécules composant notre gaz par le nombre d’Avogadro, que l’on peut écrire aussi
(6) ${\text{P V} \text{ = N } k_B \text{ T} }$ , avec ${k_B = \frac {R}{\mathcal{N_A}}}$ la constante de Boltzmann.
La température de cette formule empirique (5) n’a pas d’autre définition que celle donnée par un thermomètre. Mais en rapprochant (5) et (4) on peut définir la température d’un gaz comme une grandeur intensive proportionnelle à l’énergie cinétique moyenne des particules qui le composent. Cette définition de la température est ma préférée, bien qu’elle ne s’applique qu’aux gaz. La définition purement expérimentale de la température par la lecture du thermomètre est frustrante car on ne voit pas trop de quoi il s’agit, la définition de la température à partir de l’entropie, qu’on ne verra pas ici, est tellement abstraite qu’on ne voit pas non plus de quoi il s’agit.
La théorie cinétique des gaz nous permet donc de conclure que l’énergie interne d’un gaz diatomique répondant aux hypothèses de cette théorie ne dépend que de la température:
(7) ${\text{U}= \frac{5}{2} \text{ N } k_B \text{ T}= \frac{5}{2} \text{ n } R \text{ T}}$
On parlera de gaz parfait lorsque ces hypothèses sont satisfaites. En particulier, l’air étant un gaz composé essentiellement d’Azote et d’Oxygène diatomiques, on supposera que la formule (4) s’applique à l’air dans les conditions d’utilisation de nos aéronefs, qui est le seul gaz que nous considérerons dans la suite.

Échange d’énergie sous forme de chaleur
Vous avez constaté que si vous laissez votre café chaud dans sa tasse, au bout d’un certain temps il sera à la même température que celle de la pièce. Si vous faites l’expérience avec un volume d’air dans un récipient hermétique vous aurez le même résultat: les températures finissent par s’égaliser. On dira qu’une quantité de chaleur, notée Q, ou δQ si elle est infiniment petite, la chaleur étant une grandeur homogène à l’énergie, est passé de l’air à la pièce, et que l’énergie interne de l’air a diminuée exactement de cette quantité. La théorie cinétique des gaz ne nous est ici d’aucune utilité pour comprendre par quel mécanisme l’énergie interne a varié, c’est un savoir purement expérimental.

Échange d’énergie sous forme de travail

Transfert d’énergie sous forme de travail

Lorsqu’une force extérieure est appliquée sur le piston, et que la position du piston bouge de dx, un travail
${\delta W= - S P_e dx = - P_e dV}$
est échangé avec l’extérieur, qui augmente ou diminue l’énergie interne de l’air contenu dans le piston.
Si on n’envisage que les échanges d’énergie sous forme de chaleur et de travail, qu’on généralise l’échange de travail à toute variation de volume, et qu’on suppose qu’au cours du processus, la pression interne et la pression externe restent identiques (P=P_e), la variation d’énergie de l’air sera
(8) ${\text{dU}= \delta Q - P dV}$

Capacité thermique
Quelle sera l’augmentation de température ΔT d’une masse d’air donnée si on lui apporte une quantité de chaleur Q donnée?
Considérons en premier un échange isochore, c’est à dire à volume constant, en bloquant le piston dans notre dispositif expérimental. Dans un échange de chaleur isochore, dV=0. La relation (8) devient donc
(9) ${\text{dU}= \delta Q }$ pour un échange de chaleur isochore.
En différentiant (7) on obtient
(10) ${\text{dU}= \frac{5}{2} \text{ n } R \text{ dT}}$
(9) et (10) nous permettent d’établir
(11) ${\delta Q= \frac{5}{2} \text{ n } R \text{ dT}}$
En intégrant
(12) ${ Q= \frac{5}{2} \text{ n } R \Delta T }$ pour un échange de chaleur isochore, c’est la réponse à la question posée.
On envisage maintenant un processus isobare: quelle sera l’augmentation de température ΔT d’une masse d’air donnée si on lui apporte une quantité de chaleur Q donnée à pression constante, c’est à dire le piston de notre dispositif expérimental étant laissé libre de se déplacer? La relation (8) devient, en ajoutant d(P.V)=V.dP+P.dV de chaque coté,
(13) ${\text{d(U + P.V)}= \delta Q + V dP }$ .
Pour un processus isobare, dP=0, la relation (13) devient donc
(14) ${\text{d(U + P.V)}= \delta Q }$ pour un processus isobare
Soit, en utilisant (5) et (7)
${ d(\frac{5}{2} \text{ n } R \text{ T}+ \text{ n } R \text{ T})= \delta Q }$ , et enfin
(15) ${ \delta Q= \frac{7}{2} \text{ n } R \text{ dT}}$ pour un processus isobare.
En intégrant
(16) ${ Q= \frac{7}{2} \text{ n } R \Delta T}$ pour un processus isobare, c’est la réponse à la question posée.

Coefficients thermiques.
Les manuels définissent
l’enthalpie (17) H = U + P V et les coefficients thermiques ${ C_v=(\frac{\partial U}{\partial T})_v }$ à volume constant et ${ C_p=(\frac{\partial H}{\partial T})_p }$ à pression constante.
Pour le cas particulier des gaz parfait, l’énergie et l’enthalpie ne dépendant que de la température, on peut écrire
(18) ${ C_v=\frac{dU}{dT} }$ pour un gaz parfait
(19) ${ C_p=\frac{dH}{dT} }$ pour un gaz parfait
De (7) on tire
(20) ${ C_v = \frac{5}{2} \text{ n } R }$ pour un gaz diatomique,
et de (7) et (5) on tire
(21) ${ C_p = \frac{7}{2} \text{ n } R }$ pour un gaz diatomique.
On note que C_v et C_p sont des grandeurs extensives et sont constantes pour un gaz diatomique.
(11) et (15) s’écriront aussi
(22) ${\delta Q= C_v \text{ dT}}$ à volume constant,
(23) ${\delta Q= C_p \text{ dT}}$ à pression constante.
(13) peut s’écrire en utilisant la définition (17) de l’enthalpie
(24) ${\text{dH}= \delta Q + V dP }$ .

Processus adiabatique
Nous allons la plupart du temps envisager des masses d’air que nous supposerons ne pas échanger d’énergie avec l’extérieur sous forme de chaleur, on parlera de compression/détente adiabatique dans ce cas. On considère en général qu’on peut négliger l’échange de chaleur si le processus ne dure pas longtemps (mais assez longtemps quand même pour que l’hypothèse P_e=P, formulée plus haut pour établir (8), reste valable). Pour un tel processus (8) et (24) deviennent, δQ étant nul,
(25) ${\text{dU}= - P dV}$ pour un processus adiabatique
(26) ${\text{dH}=+ V dP }$ pour un processus adiabatique
(18) peut s’écrire (27) dU = C_v dT
(19) peut s’écrire (28) dH = C_p dT
(25) et (27) donnent (29) ${C_v dT = - P dV}$
(26) et (28) donnent (30) ${C_p dT = + P dV}$
En éliminant dT entre (29) et (30) on obtient
(31) ${\frac{P}{C_v} dV + \frac{V}{C_p} dP =0}$ pour un processus adiabatique
On pose (32) ${\gamma = \frac{C_p}{C_v}}$
On note que γ, quotient de deux grandeurs extensives, est une grandeur intensive. Pour l’air, on tire de (20) et (21) ${\gamma = \frac{7}{5}}$ .
(31) devient, après division par P.V et multiplication par C_p,
(33) ${ \gamma \frac{dV}{V} + \frac{dP}{P} =0}$
Si γ est constant, (33) devient
(34) ${ d(P.V^\gamma) =0}$ ou encore,
(35) ${\mathbf{ P.V}}$ ^γ constant au cours d’un processus adiabatique, relation connue sous le nom de loi de Laplace.
On note que la loi de Laplace est valable non seulement pour l’air, mais aussi pour tout gaz dont l’enthalpie et l’énergie ne dépendent que de la température et dont γ est constant au cours du processus.

Mois : décembre 2019

Anémométrie approfondie (0)